La méthode de résolution isogéométrique

Table des matières

Introduction
I État de l’art
1 Analyse isogéométrique : définition et comparaison avec la méthode des éléments finis
1.1 Introduction à l’analyse isogéométrique
1.1.1 Bases de l’analyse isogéométrique
1.1.1.1 Vecteurs noeuds et B-Splines
1.1.1.2 Fonctions Non-Uniform Rational B-Splines
1.1.1.3 Méthodes de raffinement
1.1.2 Analyse isogéométrique versus méthode des éléments finis
1.1.3 Exemple d’une résolution isogéométrique
1.2 Lien entre l’analyse isogéométrique et la méthode des éléments finis
1.2.1 Décomposition de Bézier
1.2.2 Fonctions de Bernstein
1.2.3 Opérateur d’extraction de Bézier
2 Approches multi-échelles
2.1 Etat de l’art des méthodes de calcul multi-échelles
2.1.1 Méthodes multi-échelles micro/macro
2.1.2 Méthodes de couplage avec transfert d’information à l’interface
2.1.3 Méthodes non-intrusives
2.2 Principe des méthodes de couplage
2.2.1 Problème de référence
2.2.2 Résolution couplée classique
2.2.3 Résolution couplée non-intrusive
3 Évaluation de la qualité d’une solution couplée
3.1 Estimation de l’erreur pour les calculs multi-échelles
3.1.1 Introduction à la notion d’erreur
3.1.2 État de l’art des méthodes de certification des méthodes multi-échelles
3.1.3 Estimation d’erreur de couplage non-intrusif
3.2 Technique d’estimation d’erreur en quantité d’intérêt
3.2.1 Quantité d’intérêt et problème adjoint
3.2.2 Estimation de l’erreur en quantité d’intérêt par la méthode des résidus
3.2.3 Estimation de l’erreur en quantité d’intérêt par l’erreur en relation de comportement
3.2.3.1 Fonctionnelle ERC
3.2.3.2 Application de l’ERC sur une quantité d’intérêt
II Couplage entre l’analyse isogéométrique et la méthode des éléments finis
4 Implémentation de l’analyse isogéométrique dans un code éléments finis
4.1 Extraction de Lagrange
4.1.1 Des polynômes de Lagrange aux polynômes de Bernstein
4.1.2 Lien direct entre les fonctions Lagrange et B-Splines
4.1.3 Extraction dans le cas des Non-Uniform Rational B-Splines
4.1.4 Implémentation de l’extraction de Lagrange
4.1.4.1 Dans le cas NURBS
4.1.4.2 Dans le cas B-Spline
4.2 Stratégie non-intrusive développée
4.2.1 Principe
4.2.2 Approximation simple
4.2.3 Autres approximations possibles
4.2.4 Limite de la méthode
4.3 Implémentation non-intrusive dans le cas non-linéaire
5 Résultats numériques de l’implémentation
5.1 Cas-test linéaires
5.1.1 Arc circulaire en dimension 2
5.1.2 Coque 3D
5.1.2.1 Cylindre pincé
5.1.2.2 Hémisphère pincé
5.1.3 Pièce massive 3D
5.2 Cas-test non-linéaire
5.2.1 Besoins pour l’implémentation dans Code_Aster
5.2.2 Application à l’élasto-plasticité
6 Vers un couplage AIG/MEF automatique
6.1 Utilisation du lien AIG/MEF pour le couplage
6.1.1 Séparation global-local
6.1.2 Formulation du couplage et des opérateurs de Mortar
6.2 Exemple d’application du couplage IG/EF
III Certification et pilotage des stratégies de couplage non-intrusif
7 Outils de vérification basés sur les résidus d’équilibre pondérés
7.1 Méthode des résidus pondérés dans le cadre du couplage non-intrusif
7.1.1 Formulation faible du couplage pour l’estimation d’erreur
7.1.2 Estimateur d’erreur en résidus pour un problème couplé
7.2 Stratégie d’adaptation
7.2.1 Définition des indicateurs d’erreur
7.2.2 Implémentation des indicateurs d’erreur
7.2.3 Procédure d’adaptation
8 Application numérique de l’erreur en résidus
8.1 Poutre en traction en dimension 1
8.1.1 Définition des problèmes primal et adjoint
8.1.2 Estimation de l’erreur globale de couplage
8.1.3 Procédure d’adaptation
8.1.3.1 Déplacement moyen en bout de poutre
8.1.3.2 Autres quantités d’intérêt
8.2 Plaque en traction avec inclusion locale d’affaiblissements
8.2.1 Variation homogène du Module de Young
8.2.1.1 Affaiblissement faible
8.2.1.2 Affaiblissement fort
8.2.2 Variation hétérogène du Module de Young
8.3 Plaque trouée en flexion
8.3.1 Quantité d’intérêt en déplacement
8.3.2 Quantité d’intérêt en contrainte
9 Vers une procédure d’adaptation basée sur l’erreur en relation de comportement
9.1 Principe de l’erreur en relation de comportement pour un couplage non-intrusif
9.1.1 Construction d’une famille de solutions approchées
9.1.2 Estimation d’erreur basée sur l’ERC pour un couplage non-intrusif
9.1.3 Indicateurs d’erreur basés sur l’ERC et adaptation
9.1.4 Modification de la procédure d’équilibrage avec un couplage non-intrusif
9.2 Application de l’adaptation basée sur l’ERC
9.2.1 Comportement linéaire dans la zone locale
9.2.2 Comportement non-linéaire dans la zone locale
Conclusion