Chaos quasi-classique dans les condensats de Bose-Einstein 

Refroidissement et confinement d’atomes

  Le refroidissement et le connement, ou piégeage, des atomes constituent la première étape de toute expérience d’atomes froids. Dans le plupart des cas, les atomes sont placés dans un piège magnéto-optique (PMO) constitué de trois faisceaux rétro-réfléchis, servant pour le refroidissement, et de deux bobines en configuration anti-Helmhotz, servant pour le confinement (cf. Fig. 1.1). Les mécanismes de refroidissement mis en jeu dans un tel dispositif sont les refroidissements Doppler et Sisyphe. Par souci de simplicité, nous ne présenterons ici que le refroidissement Doppler en ne considérant qu’une seule dimension de l’espace (la direction x), après quoi nous expliquerons le principe du confinement par effet Zeemann. Bien que de nombreuses techniques aient été proposées dans le but de produire un gaz d’atomes froids [67], nous ne présentons ici que le refroidissement Doppler. En effet,il a été le premier à être proposé [43] et réalisé [16] ; et malgré cela, il reste aujourd’hui encore incontournable dans les expériences d’atomes froids. Le refroidissement Doppler est basé sur l’échange de quantité de mouvement entre photons et atomes pendant un cycle de fluorescence (CF).  La vitesse des atomes peut être ainsi considérablement réduite, après une centaine de milli-secondes. Le résultat de ce seul processus de refroidissement, appelé mélasse optique, est un ensemble d’atomes lents mais spatialement éparpillés. Dans la plupart des cas, un confinement des atomes est également appliqué. Ce confinement est en fait réalisé en même temps que le refroidissement. L’idée, pour piéger les atomes dans une zone bien dénie de l’espace, est de leur appliquer une force de rappel qui les ramène au point d’intersection des trois faisceaux servant au refroidissement (en x = 0). Pour cela, il faut que les atomes en x > 0 absorbent préférentiellement un photon venant de la droite, et que les atomes en x < 0 absorbent préférentiellement un photon venant de la gauche. Cela est possible en appliquant un champ magnétique inhomogène, qui modie la fréquence atomique par effet Zeemann. Le désaccord en fréquence dépend alors de la position ; il est minimal lorsque x > 0 et v > 0 pour le faisceau (−), et lorsque x < 0 et v < 0 pour le faisceau (+). Dans cette section, nous avons présenté le principe du refroidissement Doppler et du confinement par effet Zeemann, qui sont à la base du piégeage magnéto-optique, et qui constitue la première étape de la plupart des expériences d’atomes froids. Le temps caractéristique de cette étape est de l’ordre de 100 ms. Le gaz ainsi obtenu compte environ un milliard d’atomes, à une température de l’ordre du microkelvin, et piégés dans 1 mm3. Une fois que cette étape est terminée, soit on applique le potentiel optique pour sonder la dynamique du gaz d’atomes froids (cf. section 1.3), soit on applique une étape de refroidissement supplémentaire, qui conduit à la production d’un condensat de Bose-Einstein (cf. section 1.2).

Réalisation d’un condensat de Bose-Einstein

  Prédite théoriquement pour les gaz parfaits par Einstein en 1925, la condensation de Bose-Einstein consiste en l’accumulation de particules de spin entier, des bosons, dans l’état fondamental d’un puits de potentiel. Qualitativement, elle se produit pour des températures suffisamment basses pour que la longueur d’ondes de de Broglie thermique de chaque particule (cf. Eq. (1.1)) soit comparable à la distance moyenne entre les particules. La superfluidité de l’hélium liquide en dessous de 2,2 K, observée en 1938 [2], a été interprétée comme une conséquence de la condensation de Bose-Einstein [64]. Elle a même été considérée pendant plusieurs décennies comme la manifestation de référence de la condensation, malgré le décalage entre les prédictions théoriques et les observations expérimentales. Cete situation a persisté jusqu’à la réalisation, en 1995, des premiers condensats de Bose-Einstein avec des atomes refroidis à des températures inférieures au microkelvin [5, 25], c’est-à-dire dont la longueur d’onde de de Broglie est de l’ordre de plusieurs microns. Les condensats ainsi formés, qui comprennent de 104 à 106 atomes, se caractérisent par une cohérence macroscopique : ce sont donc des candidats idéals pour l’observation de phénomènes basés sur des interférences quantiques. Ainsi, depuis 1995, de très nombreuses recherches ont-elles été menées, notamment concernant des condensats placés dans des potentiels optiques  .Contrairement au cas du gaz parfait, les interactions entre atomes, i.e. les collisions,ne peuvent pas être négligées à l’intérieur d’un condensat, ce qui, a priori, complique sa description. Toutefois, si le condensat obtenu est suffisamment dilué et qu’il contienne un nombre suffisant d’atomes, ces interactions peuvent être décrites par une théorie de champ moyen. Toute l’information sur l’état du condensat est alors contenue dans une seule fonction d’onde, dite fonction d’onde macroscopique du condensat, qui évolue suivant l’équation de Gross-Pitaevskii, ou Schrödinger non-linéaire. Comme son nom l’indique, cette équation réunit mécanique quantique et dynamique non-linéaire, donnant lieu à toute une classe de phénomènes inédits pour un système quantique, tels que les solitons ou le chaos. L’objet de cette section est de présenter succintement les condensats de BoseEinstein, et en particulier comment se modélise leur évolution dynamique.

Réduction de l’effet de l’émission spontanée sur le rotateur pulsé

 Le rotateur pulsé quantique (RPQ) présente des phénomènes remarquables, tels que le gel de la diusion dans l’espace des impulsions, appelé localisation dynamique (LD). Ce phénomène étant dû à des interférences destructives, il n’est pas observable classiquement. Comme tout phénomène d’interférence, la LD est très sensible à la décohérence, pouvant ainsi être partiellement détruite, auquel cas la diffusion en impulsion ne s’arrête pas totalement. Dans une expérience d’atomes froids, la principale source de décohérence est l’émission spontanée (ES), dont le taux peut être largement ajusté, mais dont on ne peut pas totalement s’affranchir.L’objet de ce chapitre est de présenter une méthode qui permet de minimiser les effets de l’ES, et ainsi de restaurer partiellement la LD. L’idée, pour cela, est de séparer les atomes qui ont subi de l’ES, et qui contribuent donc à la diffusion dans l’espace des impulsions, et les atomes qui n’en ont pas subi,et qui contribuent donc à la LD. Ces derniers n’ayant interagi avec les faisceaux de l’onde stationnaire que par émission stimulée, leur impulsion suivant l’axe des faisceaux ne peut varier que d’une quantité multiple de deux impulsions de recul . A l’inverse, lors d’une émission spontanée, le photon émis l’est dans une direction aléatoire ; donc l’impulsion de l’atome suivant l’axe des faisceaux varie d’une quantité non multiple de deux impulsions de recul (cf. Fig. 3.1 (b)). Donc, si nous considérons une distribution initiale en impulsion très ne et centrée en zéro, la partie cohérente dela dynamique, i.e. le potentiel sinusoïdal, va peupler des états d’impulsions séparés de deux impulsions de recul, alors que la partie incohérente, i.e. l’émission spontanée, va peupler les autres états d’impulsion. Pour s’aranchir, au moins en partie, de l’émission spontanée, il semble donc judicieux, pour calculer l’énergie cinétique moyenne ou la distribution en impulsion, de ne tenir compte que des atomes occupant ces états d’impulsions particuliers. Une telle sélection d’impulsions est réalisable expérimentalement grâce à la spectroscopie Raman,, qui permet d’isoler une classe d’impulsion dont la largeur peut descendre jusqu’au cinquantième de la zone de Brillouin [13].

Chaos quasi-classique dans les condensats de Bose-Einstein

  Nous nous sommes focalisés sur l’étude du rotateur pulsé, dont nous avons vu que la version classique présente de la sensibilité aux conditions initiales. Celle-ci ne se retrouve pas dans le cas quantique, car l’équation de Schrödinger, qui régit l’évolution du système quantique, est linéaire en la fonction d’onde. Cependant, la sensibilité aux conditions initiales classique laisse une signature sur la dynamique quantique : la localisation dynamique, qui consiste en l’arrêt de la diffusion dans l’espace des impulsions. Nous avons observé la localisation dynamique en calculant l’évolution temporelle de la distribution en impulsion et de l’énergie cinétique moyenne. Sur la figure 5.1, nous proposons d’illustrer l’absence de sensibilité aux conditions initiales de la dynamique quantique, en utilisant une autre quantité. Pour diérentes valeurs du paramètre de stochasticité K, nous calculons l’évolution temporelle du carré de l’impulsion. Nous en prenons ensuite la transformée de Fourier, dont nous retenons les fréquences dont l’amplitude est au-dessus d’un certain seuil.Le panneau (a) de la gure 5.1 montre le résultat d’un tel calcul pour une trajectoire classique initialement en (X0 = 0,P0 = 0,18π). Il comprend un petit nombre de branches qui se croisent pour des valeurs bien précises de K. Ces branches deviennent de plus en plus nombreuses jusqu’à former un continuum correspondant au chaos pour K ‘ 0,83. Cette disposition des branches est un illustration de la route vers le chaos décrite par le théorème de Kolmogorov-Arnold-Moser. Pour les petites valeurs de K, le mouvement consiste en une rotation presque libre, avec de petites oscillations de fréquence 0,09 pulse et ses harmoniques. Ces fréquences évoluent en fonction de K, jusqu’à ce que les branches se croisent en K ‘ 0,37 ou en K ‘ 0,61. Ces croisements sont la signature d’îlots de résonance, ici (1 : −7) et (1 : −6) respectivement (cf. insert de la figure 5.1 (a)). Le rotateur reste dans la résonance (1 : −6) jusque K ‘ 0,78, valeur à laquelle se produit une cascade de doublements de période aboutissant au chaos.

Table des matières

Introduction
1 Réalisation d’une expérience d’atomes froids 
1.1 Refroidissement et confinement d’atomes 
1.2 Réalisation d’un condensat de Bose-Einstein 
1.2.1 La condensation de Bose-Einstein
1.2.2 Théorie de champ moyen et équation de Gross-Pitaevskii
1.3 Potentiels optiques
1.3.1 Principe général
1.3.2 Potentiel sinusoïdal pulsé
1.3.3 Réseau incliné
1.4 Vélocimétrie Raman 
1.5 Conclusion
2 Présentation du rotateur pulsé 
2.1 Le rotateur pulsé classique 
2.1.1 Le modèle
2.1.2 Dynamique d’un rotateur pulsé
2.2 Le rotateur pulsé quantique
2.2.1 Dynamique quantique
2.2.2 Quasi-énergies et quasi-états de Floquet
2.2.3 Rotateur pulsé quantique dans l’espace des positions
2.3 Conclusion 
3 Réduction de l’effet de l’émission spontanée sur le rotateur pulsé 
3.1 Rotateur pulsé et émission spontanée
3.1.1 Modélisation de l’émission spontanée
3.1.2 Eet d’une seule émission spontanée
3.1.3 Eet d’une succession d’émissions spontanées
3.2 Application de la sélection de vitesses
3.2.1 Simulations numériques
3.2.2 Dynamique des populations moyennes
3.2.3 Calcul de l’énergie cinétique moyenne
3.2.4 Approximation adiabatique
3.3 Conclusion
4 Résonances quantiques du rotateur pulsé dans l’espace des positions 
4.1 Résonances quantiques simples 
4.1.1 Evolution temporelle de la fonction d’onde
4.1.2 Valeurs moyennes d’observables
4.1.3 Valeurs moyennes et cas limites
4.2 Résonances quantiques d’ordre supérieur 
4.2.1 Evolution dynamique et formalisme matriciel
4.2.2 Valeurs moyennes d’observables
4.3 Observation des résonances quantiques dans les conditions expérimentales 
4.4 Conclusion 
5 Chaos quasi-classique dans les condensats de Bose-Einstein 
5.1 Réseau incliné et base de Wannier-Stark
5.1.1 Les états de Wannier-Stark en question
5.1.2 Etats localisés et échelle de Wannier-Stark
5.1.3 Dynamique d’un condensat dans la base de Wannier-Stark
5.2 Dynamique quantique et théorème KAM 
5.2.1 Un système quasi-intégrable
5.2.2 Modèle à trois états
5.3 Chaos et position moyennes d’un condensat
5.3.1 Fréquences de Bohr et résonances secondaires
5.3.2 Dynamique chaotique
5.4 Conclusions et perspectives
Conclusion
Annexes
A Calculs relatifs aux résonances quantiques du rotateur pulsé
B Résonances quantiques et quasi-états de Floquet
C Dynamique d’un condensat de Bose-Einstein dans un réseau incliné : modèle à deux états
D Calcul des exposants de Lyapunov
E Publications
Bibliographie

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