Diagnostic et observabilité des systèmes non linéaires

Motivation pour la détection, localisation et identification de défaut

   La complexité croissante des systèmes industriels qui sont devenus de plus en plus exigeants en termes de fiabilité, de performances, de contrainte de sécurité et de disponibilités, a donné un intérêt croissant au diagnostic.Il existe une multitude des méthodes de diagnostic. Elles sont classées de différentes façons. Une de ces classifications consiste à regrouper les méthodes de diagnostic en deux catégories : approches à base de modèle et approches sans modèle. Parmi les méthodes de diagnostic à base de modèle on peut citer : l’espace de parité, l’estimation paramétrique, et l’observateur. Les méthodes de diagnostic à base d’observateur ont reçu une attention particulière de la communauté scientifique à cause de leurs efficacités. Différents types d’observateurs ont été utilisés dans ce but. Les observateurs à mode glissant [Sreedhar et al., 1993], sont utilisés depuis plus de 18 ans, mais ces dernières années ils ont eu un grand succès dans le cadre de la détection et de la reconstruction de défauts [Martinez et Rincon, 2007 ; Sharma et Aldeen, 2009]. Aussi, les observateurs adaptatifs sont utilisés pour la FDI [Ding et Frank, 1993 ; Jiang et al., 2002]. Par exemple, un algorithme récursif pour l’estimation conjointe du vecteur d’états et du vecteur des paramètres du défaut est proposé par Xu et Zhang [Xu et Zhang, 2004], en utilisant un observateur grandgain adaptatif. Martinez Guerra et Diop ont utilisé les observateurs à entrée inconnues pour la FDI [Martinez-Guerra et Diop, 2004]. Le principe fondamental de détection des défauts à base d’observateur est de réaliser une estimation des sorties du système à partir des grandeurs accessibles à la mesure. L’erreur d’estimation forme le vecteur résidu. Par la suite, une décision de la présence ou non d’un défaut est prise, en comparant le résidu à un certain seuil fixe ou adaptatif. Au lieu de générer un résidu, l’approche de reconstruction et d’estimation d’un défaut tente de reconstruire le graphe de ce défaut. Cette méthode est différente des méthodes énoncées précédemment. En effet, elle permet non seulement de détecter et localiser un défaut mais aussi de l’estimer et de donner son allure au cours du temps. Cette approche de reconstruction et d’identification de défaut est très efficace pour les défauts de type intermittent ou graduel, qui sont très difficiles à être détecter à cause de leurs évolutions temporelles lentes. En plus, cette approche est très bénéfique dans le cas de commande tolérante aux défauts (FTC). Grâce à sa capacité de déterminer l’amplitude, la localisation et l’évolution dynamique d’un défaut, l’approche de reconstruction et d’estimation de défaut a reçu beaucoup d’intérêt récemment. Par exemple, Aldeen et Sharma ont développé un observateur pour estimer les entrées inconnues, l’état et les défauts simultanément, en découplant les défauts et les perturbations inconnus par une transformation d’états et des sorties [Aldeen et Sharma, 2008]. Pour une classe de systèmes non linéaires, Vijayaraghavan et al., ont développé une méthode pour la détection et l’estimation des défauts actionneurs [Vijayaraghavan et al., 2007]. En se basant sur des résidus  non linéaires au lieu des résidus linéaires, Narasimhan et al ont conçu un observateur qui permet d’assurer que les résidus soient affectés diagonalement. Ces derniers sont utilisés pour l’estimation des défauts [Narasimhan et al., 2008]. En résolvant, des équations de Lyapunov, un observateur robuste a été présenté pour estimer simultanément l’état et le défaut pour des systèmes descripteurs non-linéaires [Gao et Ding, 2007]. L’article [Tan et Edwards, 2000] met en évidence un schéma de détection et d’identification de défaut pour une classe de systèmes linéaires incertain en minimisant un gain entre l’incertitude et le signal de défaut reconstruit en utilisant une approche LMI. Tan et Habib ont conçu un observateur linéaire pour l’estimation d’états, ces derniers sont utilisés par la suite avec les entrées et les sorties du système pour reconstruire les défauts [Tan et Maki Habib, 2007].

Motivation pour l’estimation d’état

  Les stations d’épuration biologiques à boues activées peuvent être caractérisées par les valeurs de certains nombres de variables (concentration, pH, …). L’ensemble de ces variables est appelé état du système. En général, pour les raisons évoquées précédemment, le nombre de variables mesurées dans les procédés biochimiques est inférieur à la dimension de l’état, ceci rend impossible la déduction des variables d’état à partir de celle de mesures. Pour pallier à ces limitations, une solution consiste à développer des outils, qui, à partir des mesures expérimentales, reconstituent une estimation des variables non mesurées. On parle alors des observateurs ou capteurs logiciels. Une grande variété d’observateurs est proposée pour les systèmes non-linéaires : les observateurs étendus [Gelb,1974], observateurs à horizon glissant [Narendra et Annaswamy, 1989], observateurs adaptatifs [Alamir, 2007], et observateurs par intervalle [Mazenc et Olivier, 2009 ; Rapaport et Dochain, 2005]. Le travail d’estimation présenté dans cette thèse, est basé sur les observateurs grand-gain, dont la référence historique est l’article de [Gauthier et al, 1992] et qui permettent d’excellentes propriétés globales. Des travaux ont montré la convergence exponentielle de ce type d’observateur [Gauthier et Kupka, 2001]. C’est-à-dire que l’erreur d’estimation est majorée par une fonction exponentielle décroissante, et sa vitesse de convergence peut être réglable par l’utilisateur. D’autre part, nous nous intéressons au filtre de Kalman étendu qui est une extension des observateurs pour les systèmes linéaires données par Kalman [Kalman, 1960 ; Kalman et Bucy, 1961]. Ce filtre a été largement utilisé dans beaucoup de problèmes tels que : la poursuite des cibles, le contrôle de la navigation, la détection des défauts puisqu’il assure la convergence exponentielle de l’erreur d’estimation vers zéro quelque soit l’erreur d’initialisation. Cependant, les systèmes linéaires ne couvrant qu’une faible proportion des procédés industriels, des solutions non-linéaires ont été rapidement envisagées. Le filtre de Kalman étendu (FKE) est l’une des techniques d’estimation la plus populaire et qui est très utilisée en pratique. Il se base sur une linéarisation du système non-linéaire, autour d’une trajectoire de référence. Cet observateur a suscité depuis longtemps beaucoup d’intérêt, en raison de :
– Sa simplicité de mise en œuvre,
– Son adaptation à une utilisation en temps réel,
– Sa possession de bonne performance de lissage de bruit.
Cependant, quelques inconvénients peuvent être évoqués : manque de garantie de stabilité et le manque des preuves de convergence de ce filtre. Sa convergence n’est prouvée que localement [Boutayeb et al, 1997 ; Boutayeb et Aubry, 1999]. Ce caractère purement local le rend impropre au procédé non linéaire où on ne connait pas bien l’état initial ou lorsque les systèmes non linéaires sont soumis à des grandes perturbations non mesurées et non modélisées. Une garantie de convergence globale peut être obtenue en ayant recours à la méthodologie grandgain proposée par [Busvelle et Gauthier, 2002 ; 2005]. Cette approche s’appuie sur deux composantes :
– L’utilisation d’une forme canonique d’observabilité bien précise,
– L’usage d’un unique scalaire 휃 pour modifier l’algorithme du FKE.
Alors la convergence de filtre de Kalman étendu grand-gain obtenue est justifiée théoriquement. Par contre, l’utilisation de cet observateur peut conduire à une grande sensibilité par rapport au bruit d’observation.

Objectifs de la détection, localisation et l’identification des défauts

   Motivé par les aspects positifs des méthodes de reconstruction et d’estimation de défauts à base d’observateur, nous proposons une méthode générale de reconstruction de défaut. Cette méthode est issue de la théorie générale d’identification élaborée dans les articles [Busvelle et Gauthier,2002 ; 2003 ; 2004 ; 2005]. En effet, elle donne un aperçu sur le problème d’observabilité des entrées inconnues. Beaucoup de problèmes d’identification et de localisation de défauts peuvent être considérées comme des problèmes d’observabilité, lorsque le défaut capteur ou actionneur est considéré comme une entrée inconnue. Cette approche s’inscrit sous le thème d’observabilité générale développé par [Gauthier et Kupka, 2001]. Dans ce livre, ils ont montré que pour pouvoir appliquer des observateurs grand-gain, le système doit être mis sous une forme canonique d’observabilité bien définie. Dans le même esprit, chaque entrée inconnue doit subir un changement de coordonnée afin de se mettre sous une forme canonique définie à l’avance. Les principaux résultats établis:
– La propriété d’observabilité des entrées inconnues est générique si et seulement si le nombre d’observations est supérieur à trois.
– Contrairement, si le nombre d’observations est égal à 1 ou 2, l’observation des entrées inconnues est une hypothèse très restrictive et n’est pas générique. Motivé par cette puissante théorie et sa capacité de reproduire avec fidélité l’allure et l’amplitude de la fonction inconnue, une identification des défauts capteurs et actionneurs d’une station d’épuration biologique à boues activées constitue l’objectif de la deuxième partie de cette thèse. Cette méthode de reconstruction de défaut est une puissante alternative puisqu’elle permet de reconstruire le défaut au lieu de détecter sa présence par une méthode classique de génération de résidu. Toutefois, lorsque l’influence des défauts sur le processus est inconnue, une méthode de génération des résidus s’avère plus adaptée au problème combiné de détection et isolation de défaut. C’est pourquoi, nous nous sommes intéressés aux méthodes de détection et localisation de défauts par banc d’observateurs grand-gain. Chacun de ces observateurs est sensible à un ensemble de défauts et insensible aux autres. L’ensemble de ces résidus constitue une matrice de signature permettant d’isoler les défauts capteur et actionneur.

Détection, localisation et identification des défauts à base d’observateur nonlinéaire

   Les systèmes ont en général un comportement non-linéaire. Une solution pour remédier à la complexité des outils de FDI aux systèmes non-linéaires est de se ramener au cas linéaire (en utilisant par exemple un modèle linéaire autour d’un point de fonctionnement) afin d’utiliser les méthodes de FDI linéaire qui sont bien maitrisées. Néanmoins, ce type de méthodes soulève des problèmes de généricité. En effet, considérons le cas où le générateur de résidus se base sur un modèle linéarisé autour d’un point de fonctionnement. Lorsque l’état s’écarte sensiblement de ce point de fonctionnement, des dérives importantes peuvent être observées, à cause de ce caractère non-linéaire du comportement [Maquin et al., 1997]. Le principal inconvénient de ces méthodes est qu’elles ne peuvent pas s’appliquer que sous des conditions très restrictives [Xu, 2002]. De plus elles peuvent augmenter les taux de fausses alarmes [Frank et Ding, 1997]. Ces limitations des techniques linéaires de diagnostic ont motivé les recherches des techniques de FDI nonlinéaires représentant au mieux le comportement du processus. Parmi ces approches nous retiendrons celles qui se basent sur les modèles mathématiques puisqu’elles offrent un grand nombre d’informations sur le système. Comme indiqué dans le paragraphe 2.2.2 (b), parmi ces méthodes, on a l’estimation d’état, l’espace de parité et l’estimation des paramètres. Un intérêt particulier sera accordé aux méthodes à base d’observateurs. Dans la section suivante, une étude bibliographique sur les méthodes de détection et de générations des résidus à base d’observateurs non-linéaires est donnée. Ainsi une présentation des méthodes d’évaluation des résidus est évoquée par la suite. Cette méthode de diagnostic est composée de trois fonctions de base: la génération des résidus, la détection, la localisation et éventuellement l’identification.

Table des matières

Liste des figures
Liste des tableaux
Notations
1. Introduction
1.1. Contexte de l’étude
1.2. Motivation
1.3. Objectifs de la thèse
1.4. Présentation du mémoire
2. Diagnostic et observabilité des systèmes non linéaires
2.1. Introduction
2.2. Diagnostic des systèmes dynamique
2.2.1. Différents types de défaut
a. Défauts capteurs
b. Défauts actionneurs
c. Défauts composants
2.2.2. Classification des méthodes de diagnostic
a. Méthodes sans modèle
b. Méthodes à base de modèle
c. Analyses comparatives des méthodes de diagnostic
2.2.3. Détection, localisation, et identification des défauts à base d’observateur non linéaire
a. Génération des résidus
b. La détection
c. La localisation
d. L’identification
2.2.4. Caractéristiques souhaitables d’un système de diagnostic
2.3. Observabilité et observateurs grand gain
2.3.1. Généralité sur les observateurs
2.3.2. Système en considération
2.3.3. Observabilité des systèmes non linéaires
2.3.4. Formes normales d’observabilité
2.3.5. Formes normales Multi-entrées Mono-sortie
2.3.6. Observateur à grand gain
a. Observateur à grand gain de type Luenberger
b. Observateur de Kalman étendu grand gain
2.3.7. Observateurs à grand gain adaptatifs
a. Adaptation du gain pour les observateurs de type Luenberger
b. Filtre de Kalman adaptatif
c. Observateur proposé par Busvelle et Gauthier
2.4. Conclusion
3. Filtre de Kalman étendu grand gain adaptatif: application à une station d’épuration biologique
3.1. Introduction
3.2. Épuration des eaux usées
3.2.1. Les étapes principales du traitement des eaux usées
a. Le pré-traitement
b. Le traitement primaire
c. Le traitement secondaire
d. Le traitement tertiaire
3.2.2. Le traitement biologique par boues activées
a. Dégradation des polluants à l’échelle microscopique
b. Fonctionnement à l’échelle réelle
3.3. Modélisation des stations d’épuration biologique
3.3.1. Historique de modélisation des stations d’épuration à boues activées
3.3.2. Modèle de référence ASM1
3.3.3. Modèle réduit
a. Approche de simplification du modèle ASM1: revue bibliographique
b. Modèle réduit Benoit Chachuat
3.4. Implémentation et comparaison entre le FKE, l’OKE grand gain et le filtre de Kalman étendu grand gain adaptatif
3.4.1. Le filtre de Kalman étendu grand gain adaptatif
3.4.2. Système en considération Multi-entrées Multi-sorties
3.4.3. Simulations
a. Le filtre de Kalman étendu
b. OKE grand gain
c. Filtre de Kalman étendu adaptatif
d. Étude comparative entre les trois observateurs
3.5. Conclusion
4. Observabilité des entrées inconnues et reconstruction des défauts
4.1. Introduction
4.2. Méthodes de reconstruction et d’identification des défauts
4.2.1. Méthodes de [Yan et Edwards, 2007]
4.2.2. Méthode de [De Persis et Isidori, 2000 ; 2001]
4.2.3. Approche de [Hou et Patton, 1998]
4.3. Observabilité des entrées inconnues (identification des entrées inconnues)
4.3.1. Généralité
4.3.2. Définitions et systèmes en considération
4.4. Principaux résultats exprimés sous forme normale
4.5. Le cas générique 3-5
4.6. Choix de l’observateur à grand gain pour le cas des systèmes 3-5
4.6.1. Etude préliminaire
4.6.2. Observateur grand gain de Luenberger multi-sorties
4.7. Application et résultats de simulation
4.7.1. Défauts capteurs
4.7.2. Défauts actionneurs
4.8. Schémas de détection et isolation des défauts
4.8.1. Méthode de FDI par banc d’observateur de [Fragkoulis et al., 2011]
4.8.2. Méthode de FDI et résultats de simulation
a. Génération des résidus
b. Détection de défaut
c. Isolation des défauts
d. Résultats de simulation
4.9. Conclusion
5. Conclusion générale
5.1. Conclusion générale
5.2. Perspectives
Annexes
Annexe A. Éléments de mathématiques
Annexe B. Modèle ASM1 complet et réduit
Annexe C. La pollution des eaux
Annexe D. Terminologie
Références bibliographiques

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