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Depuis 1965, tous les cinq ans, l’Association Internationale de Géomagnétisme et d’Aéronomie (IAGA en Anglais) a publié des modèles de référence. Les modèles définitifs sont dénommés DGRF (Definitive Geomagnetic Reference Field) et sont calculés à partir de toutes les données disponibles sur la période concernée. Par opposition, nous trouvons des modèles prédictifs associés à un modèle de variation séculaire pour la période à venir, les modèles IGRF (International Geomagnetic Reference Field). Jusqu’à nos jours, plusieurs générations de modèles IGRF (DGRF) ont vu le jour et ont bénéficié de techniques de mesures de plus en plus sophistiquées. Quoiqu’il en soit, les modèles IGRF ne permettent qu’une modélisation partielle du champ magnétique dont le détail le plus fin appelé longueur d’onde avoisine 4000km en raison d’une répartition des données peu homogène sur la sphère entière ; comparé à la taille d’une région à Madagascar, le détail est plus large. Cette longueur d’onde est donc très importante pour que nous puissions utiliser ces modèles à des fins régionales. Il apparaît clair cependant que les fines structures de taille inférieure ne pourront pas être mises en évidence simplement par ce moyen avant longtemps. Nous devons donc chercher à exploiter les données de notre région en utilisant une technique de modélisation régionale du champ magnétique. Plusieurs méthodes qui prennent en compte la nature du potentiel magnétique ont été proposées pour modéliser le champ magnétique à une échelle régionale telle que la modélisation polynomiale de surface, la modélisation en Harmonique rectangulaire, la modélisation en Harmonique sur Calotte Sphérique (SCHA), la modélisation en harmonique sur Calotte Sphérique révisée, la modélisation régionale dans un domaine conique elliptique… Ces méthodes ont leurs points forts et points faibles mais pour le cas de Madagascar, aucune d’entre elles n’est pas adaptable à cause de la densité de données qui n’est pas suffisante (Madagascar n’a que vingt cinq stations de répétition qui, d’ailleurs, ne sont pas toutes occupées lors d’une campagne magnétique). Pour cela, les données correspondantes ne sont pas encore exploitées et il n’existe pas encore de cartes magnétiques régionales pour Madagascar. Tout cela nous emmène à revoir la modélisation régionale du champ magnétique terrestre dans un domaine rectangulaire pour exploiter les données de notre région si possible.
Modélisation en Harmoniques Sphériques Rectangulaires (RHA)
Une possibilité d’inclure des données prises à différente altitude est de résoudre directement l’équation de Laplace dans un domaine approprié. Une première version de cette méthode d’analyse conduit à un formalisme appelé Modélisation en Harmoniques sphériques Rectangulaires. Les hypothèses qui circonscrivent la décomposition en Harmoniques Sphériques Rectangulaires (RHA : Rectangular Harmonic Analysis) sont moins restrictives que pour la décomposition polynomiale, strictement limitée à une portion de sphère (Alldredge, 1981).
Les spécificités mathématiques de la décomposition entraînent également d’autres problèmes (Haines, 1990).Citons à titre d’exemple le phénomène de Gibbs lié à la périodicité imposée au potentiel par le développement de Fourier (plus généralement, au voisinage d’un point où une fonction a une discontinuité, les sommes partielles de la série de Fourier correspondante présenteront un dépassement substantiel en ce point). En outre, l’assimilation de la région à un plan de dimension L pourrait se dégrader considérablement avec l’altitude, réduisant ainsi la région de validité de plus en plus petite faille. L’erreur commise au voisinage des bords reste difficile à quantifier, ce qui peut conduire à des incohérences dans l’interprétation des résultats. Pour des régions de taille d’un continent ou d’un grand pays, cette méthode devient inadaptée. Ce type de modélisation ne peut s’appliquer qu’à des données au sol et des données aéromagnétiques. Il a été utilisé avec un certain succès pour la modélisation du champ des Etats-Unis dont la forme du territoire principal s’accorde assez bien avec celle d’un parallélépipède rectangle. Les analyses n’ont cependant jamais inclus des considérations sur les conditions aux limites. Cette méthode de modélisation en Harmoniques Rectangulaires ne modélise pas directement le champ magnétique mais la différence entre deux champs.
Compte tenu de ces différentes raisons, nous allons essayer d’aborder encore une fois cette technique de modélisation mais cette fois ci nous allons inclure les conditions aux limites et aussi nous allons modéliser directement le champ magnétique.
Modélisation en Harmonique sur Calotte Sphérique (SCHA)
Quelques années après le lancement du satellite MAGSAT, les données furent facilement disponibles et c’est dans ce contexte que Haines (1985) proposa la décomposition en Harmoniques Sphériques sur Calotte, SCHA, (Spherical Cap Harmonic Analysis) pour l’élaboration d’un modèle régional sur le Canada puisque la méthode RHA ne permettait pas de remplir cet objectif. La méthode SCHA fut présentée à ses débuts comme le formalisme le plus proche des Harmoniques Sphériques Ordinaires employées en modélisation globale. Cette méthode avait donc pour objectif de pouvoir incorporer simultanément l’ensemble des données prises à des altitudes comprises entre la surface terrestre et les altitudes satellitaires tout en respectant les équations I.2 et I.3. Plusieurs modèles régionaux furent proposés par cette méthode mais finalement bien peu inclurent l’ensemble des données disponibles. Quoi qu’il en soit, comparée aux méthodes précédents, SCHA appliquée à la modélisation sur une surface donne comparativement les meilleurs résultats (Düzgit et al., 2000) et fut même utilisée récemment pour tenter de mettre en évidence une variation séculaire régionale (Korte et al.,2000).
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Table des matières
INTRODUCTION GENERALE
PARTIE I: ETUDES ANALYTIQUES DES DIFFERENTES TECHNIQUES DE MODELISATION REGIONALE EXISTANTES
I.1 – Méthodes de modélisation régionale du champ magnétique existantes
I.1.1 – Modélisation polynomiale de surface
I.1.2 – Modélisation en Harmoniques Sphériques Rectangulaires (RHA)
I.1.3 – Modélisation en Harmonique sur Calotte Sphérique (SCHA)
I.1.4 – Modélisation régionale du champ magnétique dans un domaine conique elliptique
I.2 – Modélisation régionale du champ magnétique dans un domaine rectangulaire
I.2.1 – Résolution de l’équation de Laplace en coordonnée cartésienne
I.2.2 – Géométrie et formulation du problème
I.2.3 – Résolution des problèmes des conditions aux limites
I.3– Propriétés importantes d’un champ de potentiel
I.3.1– Normalisation des fonctions de base
I.3.2 – Condition de flux
I.3.3- Orthogonalité des gradients
I.3.4 – Convergence des solutions
I.3.5 – Continuité du champ magnétique à la frontière ∂Ω
I.4- Expression finale du formalisme de modélisation dans un domaine rectangulaire
I.4.1- Critères préliminaire pour réduire le nombre de décomposition
I.4.2 – Expression du champ magnétique
I.4.3 – Mise en équation du problème inverse
I.4.4 – Estimation d’erreur et données utilisées
PARTIE II: CONSIDERATIONS NUMERIQUES ET APPLICATIONS
II.1 – Etapes préliminaires
II.1.1 – Changement de repère
II.1.2 – Changement des composantes du champ
II.1.3 – Conditions sur les dimensions x0 et y0 du domaine rectangulaire
II.1.4 – Confection de données synthétiques
II.2 – Description du logiciel de modélisation dans un domaine rectangulaire
II.3 – Illustration du fonctionnement du logiciel de modélisation
II.3.1 – Lecture des données à traiter
II.3.2 – Visualisation graphique des données à traiter
II.3.3 – Détermination des paramètres géométriques du domaine rectangulaire
II.3.4 – Etude du modèle rectangulaire proprement dite
II.3.5 – Visualisation de la variation spatiale des résidus
II.3.6 – Création de positions synthétiques
II.4 – Résultats et discussions
II.4.1 – Contribution de chacun des potentiels V1, V2 et V3
II.4.2 – Influence de la répartition spatiale des données
II.4.3 – Influence de l’angle de rotation µ
II.4.4 – Evaluation des effets de bord
II.4.5 – Applications aux données réelles
CONCLUSIONS GENERALES
Annexe
