LES APPLICATIONS DES DERIVATIONS MATHEMATIQUES EN MÉCANIQUE GENERALE

Introduction générale

La Mécanique générale est une discipline qui a pour outil principal la mathématique en général, et en particulier, la dérivation des fonctions scalaires et vectorielles. Pendant notre formation à l’Ecole Normale Supérieure, nous avons constaté que la plupart des étudiants ont des difficultés dans ce domaine. Ceci est donc un grand handicap pour mieux étudier non seulement la Mécanique générale, mais aussi la Physique, l’Electricité. Le présent mémoire doit son existence au désir de rattacher l’étude de la discipline Physique et chimie à celle de la Mathématique, en premières années universitaires ; il s’agit particulièrement d’établir l’application de la mathématique en Mécanique générale. L’objectif est d’élaborer une synthèse des notions relatives aux dérivations mathématiques et leurs applications en Mécanique générale. Nous voulons par ce fait de donner de l’aide aux étudiants pour rendre moins difficile la compréhension des cours et les résolutions des exercices. C’est pour cette raison que le thème est intitulé : Les applications des dérivations mathématiques en Mécanique générale. Ce travail comprend deux chapitres. Le premier chapitre expose les définitions, les théorèmes, les limites et les dérivations des fonctions à une ou plusieurs variables. Le deuxième chapitre montre les applications en Mécanique générale, particulièrement sur la définition du vecteur vitesse et du vecteur accélération en montrant comment effectuer la dérivation des vecteurs unitaires appartenant aux repères cylindrique, sphérique et de Frenet, ainsi que sur les dérivations partielles pour trouver les équations différentielles du mouvement par la méthode de Lagrange.

Règle de la dérivation partielle

Pour effectuer la dérivation partielle de reur par rapport àϕ , on considère dans l’expression (2 , 35) comme si ϕ est le seul paramètre variable et θ comme constante ; pour la dérivation partielle de reur par rapport à θ , considérer ϕ comme une constante et θ comme seul paramètre variable.

Programme pour tracer les trois fonctions

function claire;%déclaration du nom du programme
clc;
hold on;
f=inline(‘0′); % fonction y=o
fplot(f,[0,2*pi],’k’); %tracer l’axe des x
g=inline(‘4*sin(0.5*pi*x)’); %tracer y=4sin(0,5pi.x)
fplot(g,[0,2*pi],’b’);
h=inline(‘4*0.5*pi*cos(0.5*pi*x)’); %tracer y=4*0,5pi*cos(0,5pi.x)
fplot(h,[0,2*pi],’r’);
j=inline(‘-4*0.5*pi*0.5*pi*sin(0.5*pi*x)’); %tracer y=4*0,5pi*0,5pi*sin(0,5pi.x)
fplot(j,[0,2*pi],’g’);
hold off;

Conclusion générale

Ce mémoire permet aux étudiants de premières années universitaires de mieux comprendre et manipuler les différentes opérations sur les dérivations. Ces outils mathématiques sont très courants en Physique et particulièrement en Mécanique générale. Les difficultés que rencontrent les étudiants nous ont poussée à choisir ce thème. On peut dire que ce mémoire donne des détails sur ces notions. Il se présente comme un document pour les futurs sortants de l’ENS pour mieux préparer leur profession d’enseignant. Nous pensons que notre contribution, même modeste, sert à l’amélioration de l’apprentissage et de l’enseignement des matières scientifiques.

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Table des matières

INTRODUCTION GENERALE
CHAPITRE 1 : NOTIONS RELATIVES AUX OPERATIONS DE DERIVATION
1.1. Introduction
1.2. Ensemble ou domaine de définition
1.3. Limites
1.3.1. Limite finie d’une fonction en un point
1.3.1.1. Définition
1.3.1.2. Limite fini à droite et limite finie à gauche
1.3.2. Théorème
1.3.3. Limite d’une fonction à l’infinie
1.3.2.1. Définition
1.3.2.2. Théorème de comparaison
1.3.2.3. Théorème d’encadrement
1.3.2.4. Branches infinies
1.4. Continuité
1.4.1. Continuité en un point
1.4.1.1. Branches infinies
1.4.2. Continuité à gauche et continuité à droite
1.4.2.1. Continuité à droite
1.4.2.2. Continuité à gauche
1.4.3. Continuité sur un intervalle
1.4.3.1. Définition
1.4.3.2. Propriétés
1.5. Dérivation
1.5.1. Dérivations de fonctions polynômes
1.5.1.1. Définition
1.5.1.2. Dérivée en un point
1.5.1.3. Dérivée sur un intervalle
1.5.1.4. Dérivée à droite- Dérivée à gauche
1.5.2. Calcul des dérivées des fonctions usuelles
1.6. Tangente et demi-tangente
1.6.1. Equation de la tangente
1.6.2. Demi- tangente
1.6.3. Tangente horizontale
1.6.4. Point d’inflexion
1.7. Signe de la dérivée- Sens de variation de la fonction
1.7.1. Signe de la dérivée
1.7.2. Sens de variation
1.8. Théorème des valeurs intermédiaires
1.9. Dérivée seconde
1.9.1. Définition
1.9.2. Formule de Leibniz
1.10. Dérivée partielle
1.11. Dérivée partielle seconde
1.11.1. Extremums des fonctions de plusieurs variables
1.11.2. Conditions nécessaires d’extremums
1.11.3. Conditions suffisante d’extremums
1.12. Point singulier des courbes planes
1.12.1. Définition
1.12.2. Principaux types de point singuliers
1.12.3. Dérivées et différentielles d’ordre supérieur
1.12.3.1. Dérivée partielles d’ordre supérieur
1.12.3.1. Différentielles d’ordre supérieur
1.13. Gradient d’une fonction scalaire
1.14. Equations de Lagrange
1.14.1. Equation de Lagrange pour résoudre les équations différentielles
1.14.2. Equation de Lagrange pour trouver les équations différentielles du mouvement d’un système donné
1.14.1. Formalisme lagrangien
CHAPITRE 2 : APPLICATIONS DES DIFFERENTES OPERATIONS DE DERIVATION EN MECANIQUE GENERALE
2.1. Introduction
2.2. Le mouvement, le référentiel et la trajectoire
2.3. Les différents types de systèmes de coordonnées
2.3.1. Le système de coordonnées cartésiennes
2.3.2. Le système de coordonnées cylindriques
2.3.3. Le système de coordonnées sphériques
2.3.4. Le repère de FRENET
2.4. Le vecteur-vitesse, le vecteur-accélération, l’hodographe
2.4.1. Les définitions
2.4.2. Expressions du vecteur-vitesse et du vecteur-accélération en coordonnées cartésiennes
2.4.3. Expressions du vecteur-vitesse et du vecteur-accélération en coordonnées cylindriques
2.4.4. Expressions du vecteur-vitesse et du vecteur-accélération en coordonnées sphériques
2.4.5. Expressions du vecteur-vitesse et du vecteur-accélération en repère de FRENET
2.4.6. Détermination pratique des vecteurs du trièdre de FRENET, du rayon de courbure et du rayon de torsion
2.5. Exemples d’exercices
CONCLUSION GENERALE
BIBLIOGRAPHIE