ELEMENTS DE GEOMETRIE DANS L’ESPACE

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Espace vectoriel de dimension 3

Dans ce chapitre, on donne les définitions de partie génératrice, partie libre, base, etc…
On parle aussi des sous espaces vectoriels d’un espace vectoriel de dimension 3(droite vectorielle, plan vectoriel).
Espace affine associé à un espace vectoriel de dimension 3
– Plans dans l’espace affine3 : équation, vecteur normal à un plan, condition de parallélisme de deux plans, etc…
– Droite dans l’espace : équation, représentationparamétrique, vecteur directeur d’une droite, etc…
Toujours dans les années 70, le programme de mathématiques de terminal C comprenait entre autres :
Les isométries vectorielles de E3 (où E3 étant unespace vectoriel euclidien de dimension 3 muni de la norme euclidienne) :
– les symétries vectorielles, propriétés
– les rotation vectorielles, propriétés
– orientation de E3
– le produit vectoriel
Remarque
Ici évidemment, les élèves sont déjà initiés au lcaul du déterminant d’ordre 3 ainsi qu’à la théorie des matrices (ce qui n’est pas le cas actuellement !)
Isométrie affines de3 (où désigne un espace affine euclidienne de dimension 3)
– définitions
– déplacements de3: translation, rotation affine, vissages (où déplacement hélicoïdaux), propriétés
– traduction analytique d’une rotation de3
– antidéplacement de3 : symétries orthogonales

Son utilité :

Actuellement, on n’étudie pas la géométrie dans l’espace en classe secondaire ; or ce chapitre à notre avis est très utile, nous vivons nous-même dans un espace à 3 dimensions.
D’autre part, les connaissances en géométrie dans ’espacel sont nécessaires lorsqu’on veut approfondir d’autre discipline comme la mécanique, la physique.
Ainsi par exemple en mécanique : quand on étudiele mouvement d’un point, on l’étudie dans l’espace à trois dimension.

Sa place dans le programme scolaire :

Programme scolaire en classe 1ère C :
Normalement, on devra enseigner la dimension 3 en classe de première C au lycée, mais très souvent, faute de temps le professeur ne traite pas cette partie.
Etudions ci après les notions de géométrie dans l’espace qui figurent facilement dans le programme de première C.

notion de droite et de plans :

Ce sous chapitre a pour objectifs généraux la capacité des élèves :
· d’acquérir les notions de points, de droites et de plan dans l’espace physique.
· de connaître certaines propriétés des points, droites et plans.
· d’utiliser ces propriétés à la résolution de problème simple de géométrie dans l’espace.
Ce premier sous chapitre comprend :
· la description et représentation de l’espace physique
· l’étude des positions relatives des droites et plans (définition et propriétés)
· la notion d’orthogonalité.
Quand on a fini ce paragraphe, les élèves devraientêtre capable :
d’imaginer un point, une droite et un plan dans l’e space physique,
de donner une représentation plane des points, desdroites et des plans, de reconnaître une configuration donnée dans l’espace comme :
des droites parallèles,
des plans parallèles,
une droite et un plan parallèle,
des droites et/ou des plans perpendiculaires.

vecteur et point dans l’espace :

· vecteur de l’espace :
– définition,
– opérations,
– base,
– repérage d’un point dans l’espace.
· produit scalaire :
– définition,
– propriétés,
– bases orthogonales,
– bases orthonormées
– expression analytique dans une base orthonormée
– repère orthonormé.
Objectif généraux de ce sous chapitre : les élèvessont capable :
· d’effectuer des calculs vectoriels et analytique relatif à l’espace physique,
· ils peuvent donner une interprétation géométriqueesd resultats de ces calculs. Après ce paragraphe, l’élève doit être capable :
d’écrire une combinaison linéaire de vecteurs donnés et de vecteurs donnés comme combinaison linéaire de trois vecteurs de base.
de déterminer les composantes d’un vecteur suivant une base donnée.
de lire les coordonnées d’un point donné dans l’espace muni d’un repère et représenter dans un repère un point dont on connaîtles coordonnées.
de justifier la colinéarité et l’orthogonalité de euxd vecteurs dont on connaît les composantes dans une base orthonormée.
de calculer les composantes de vecteur AB et calculer la distance AB.
de déterminer les coordonnés du milieu I du segmentAB .
de dessiner dans un repère donné la somme de deux vecteurs donnés et la représentation du vecteur produit d’un vecteur donné.

Etude analytique de droites et de plans :

C’est la dernière sous chapitre dans la géométrie ansd l’espace de première C. Il a pour buts généraux la capacité des élèves de savoir utiliser l’outil vectoriel comme support de l’étude analytique de droite et de plan de l’espace physique.
Cette partie contient ;
la caractérisation vectorielle d’une droite et d’un plan
la représentation paramétrique et cartésienne
vecteur normal à un plan
distance d’un point à un plan étude analytique du parallélisme et d’orthogonale de droites ou de plans
A la fin de cette étude, les élèves doivent savoir:
écrire des représentations paramétriques et cartésiennes d’une droite et d’un plan définis de plusieurs façons
déduire une représentation cartésienne d’une droiteet d’un plan à partir d’une représentation paramétrique (et réciproquement)
étudier analytiquement les positions relatives desdroites et/ou des plans.
de reconnaître un vecteur normal a un plan d’équation (cartésienne ou paramétrique)
donnée.
de calculer la distance d’un point A (a, b) à la dr oite d’équation : ax by cz 0 . résoudre analytiquement des problèmes de parallélisme et d’orthogonalité de droites
et/ou de plans de l’espace physique.

Programme scolaire en classe terminal C :

En classe de terminal C, il n’y a pas de programme précis pour l’étude de la géométrie dans l’espace. Mais il y a seulement quelques instructions pour que les nouveaux bacheliers aient des notions sur la dimension.
On ne ferra aucune théorie, l’essentiel est que les élèves sachent analyser et interpréter une situation et aient le minimum sur l’espace de dimension trois.
Les élèves en terminal doivent maîtriser les notions de translations, l’homothétie, symétrie orthogonales par rapport à un plan ; par rapport à une droite.
Normalement, le professeur dispose environ cinq semaines, soit 25 heures pour enseigner la géométrie dans l’espace en première CMais. en réalité, on n’arrive jamais à cette partie là du programme soit par faute de temps, soi t par pure négligence.
Le même problème se pose en classe de terminale. Ici les enseignants et les élèves savent qu’on ne donnera jamais de sujet de géométrie dans l’espace à l’examen du baccalauréat, ainsi ils délaissent complètement ce chapitre. Maisles problèmes surviennent dès que l’élève, après avoir réussi son baccalauréat, veut poursuivre ces études en filières scientifiques à l’Université.

Table des matières

INTRODUCTION
CHAP. I : IMPORTANCE DE LA GEOMETRIE DANS L’ESPACE
1. BREF HISTORIQUE DE L’ENSEIGNEMENT DE LA GEOMETRIE DANS L’ESPACE A MADAGASCAR
Espace vectoriel de dimension 3
Espace affine associé à un espace vectoriel de dimension 3
Les isométries vectorielles de E3 (où E3 étant un espace vectoriel euclidien de dimension 3 muni de la norme euclidienne)
Rem arque
Isométrie affines de e3 (où e3 désigne un espace affine euclidienne de dimension 3)
2. Son utilité
3. Sa place dans le programme scolaire
Programme scolaire en classe 1ère C
a.notion de droite et de plans
b.vecteur et point dans l’espace
c.Etude analytique de droites et de plans
Programme scolaire en classe terminal C
CHAP. II : ELEMENTS DE GEOMETRIE DANS L’ESPACE
1;Quelques rappels de géométrie plane
a. Droite
b.Point
c.Produit scalaire de deux vecteurs
2. Géométrie dans un espace de dimension 3
a. Plan
b. Droites
c. Point
d;Produit scalaire de deux vecteurs
e. Produit vectoriel
f. Produit mixte
g. Double produit vectoriel
3. Représentation de quelques corps physique dans l’espace
a. Cube
b.Equation du second degré
b. 1. Ellipsoïde
b.2. Hyperboloïde
b.3.L’hyperboloïde à deux nappes
CHAP. III : PROPOSITION D’EXERCICES POUR LES PREMIERES ANNEE
I. Intégrale triple
a. En coordonnées cylindriques
b. En coordonnées sphériques
c. Application de l’intégrale triple à la physique
II. PROPROSITION DES EXERCICES
a. Enoncés
b. Solutions
CONCLUSION

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