Soutenance mémoire
Cette thèse est consacrée à l’étude du caractère essentiellement auto-adjoint du Laplacien qui est défini en termes de la structure combinatoire d’un 2-complexe simplicial, voir [7]. Plus précisément, nous introduisons la notion de face triangle orientée dans un graphe connexe, orienté et localement fini. En fait, nous distinguons trois types d’opérateurs Laplaciens: le premier est défini sur l’espace des fonctions sur les sommets, le deuxième est défini sur l’espace des fonctions sur les arêtes et le troisième est défini sur l’espace des fonctions sur les faces. Dans ce contexte, il s’agit d’étudier le caractère essentiellement auto-adjoint pour l’opérateur de Gauß-Bonnet, comme suite du travail de Colette Anné et Nabila Torki-Hamza [1].
L’impact de la géométrie sur le caractère essentiellement auto-adjoint du Laplacien est étudié dans divers domaines des mathématiques sur les variétés Riemanniennes, voir ([9], [16], [19] et [31]) et aussi sur les complexes simpliciaux de dimension 1, voir ([1], [13], [18], [24], [32] et [40]). Les Laplaciens sur les variétés Riemanniennes et les complexes simpliciaux partagent beaucoup d’éléments communs. Malgré cela, les notions géométriques comme la distance et la complétude dans le cadre Riemannien n’ont pas d’analogies immédiates dans le cas discret. L’étude du Laplacien discret sur les graphes commence par Kirchhoff sur les réseaux électriques [27]. Ce travail présente un cadre plus général pour les Laplaciens définis en termes de structure combinatoire d’un complexe simplicial. Les complexes simpliciaux peuvent être considérés comme une généralisation des graphes. Plus précisément, à partir de n’importe quel graphe, on peut former un 2 complexe simplicial où les faces correspondent aux cycles simples du graphe. Dans cette thèse, nous considérons un graphe orienté localement fini et nous introduisons les faces orientées de telle sorte que toutes les faces soient des triangles pour atteindre la structure d’un 2-complexe simplicial. Cette structure particulière s’appelle triangulation. Cela permet de définir notre Laplacien discret L agissant sur les triplets de fonctions, 1-formes et 2-formes.
Sur la géométrie et l’analyse des triangulations
Généralités sur les graphes
Soit V un ensemble au plus dénombrable de sommets et E un sous-ensemble de V×V, l’ensemble des arêtes, nous appelons K = (V, E) un graphe. Soit x, y ∈ V, on dit que x et y sont voisins ou adjacents s’ils sont connectés par une arête e, notée par e = (x, y) ou bien x ∼ y. Un graphe K orienté consiste à définir une partition de E :
E = E⁻ ∪ E⁺
(x, y) ∈ E⁺ ⇔ (y, x) ∈ E⁻
On suppose que l’ensemble d’arêtes E est sans boucles et symétrique, i.e
x ∈ V ⇒ (x, x) ∈ E / , (x, y) ∈ E ⇒ (y, x) ∈ E.
Notion de triangulation
Nous développons d’abord un cadre général pour introduire les opérateurs de Laplace définis en termes de la structure combinatoire d’un complexe simplicial.
Structure d’une triangulation
Une triangulation T est la donnée d’un triplet (V, E, F), où V est l’ensemble de sommets, E est l’ensemble des arêtes et F est l’ensemble des faces triangulaires qui est un sous-ensemble de l’ensemble des cycles simples de taille 3 quotienté par les permutations directes (e.g. (x, y, z) = (y, z, x) 6= (y, x, z)). Cette structure d’un 2-complexe simplicial est notée aussi par le couple T = (K, F), où K = (V, E) est un graphe connexe et localement fini.
Remarque Une triangulation est un 2-complexe simplicial dont toutes les faces sont des triangles. Dans cette structure, on peut avoir des cycles simples de taille 3 qui ne sont pas des faces triangulaires. Les coins des faces triangulaires forment un sous-ensemble de V et l’ensemble des arêtes des faces triangulaires forment un sous-ensemble de E du graphe.
Triangulations pondérées
Pour définir les triangulations pondérées, nous introduisons des poids :
• c : V → (0, ∞), c’est le poids sur les sommets.
• r : E → (0,∞), c’est le poids sur les l’arêtes, où ∀e ∈ E, r(−e) = r(e).
• s : F → (0,∞), c’est le poids sur les faces, où ∀ω ∈ F, s(−ω) = s(ω).
Espaces fonctionnels d’une triangulation
Dans cette partie, nous donnons les différents espaces fonctionnels qui sont bien connus sur les graphes. Nous introduisons également d’autres espaces fonctionnels associés à la triangulation T .
Notons l’ensemble des fonctions complexes sur V par:
C(V) = {f : V → C}
et son sous-ensemble des fonctions à support fini par Cc(V).
De même, nous avons l’ensemble des 1-formes anti-symétriques sur E :
C(E) = {ϕ : E → C, ϕ(−e) = −ϕ(e)}
et son sous-ensemble des 1-formes à support fini par Cc(E).
De plus, nous notons l’ensemble des 2-formes anti-symétriques sur F par:
C(F) = {φ : F → C, φ(−ω) = −φ(ω)}
et son sous-ensemble des 2-formes à support fini par Cc(F).
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Table des matières
1 Introduction
Introduction
2 Sur la géométrie et l’analyse des triangulations
2.1 Généralités sur les graphes
2.2 Notion de triangulation
2.2.1 Structure d’une triangulation
2.2.2 Triangulations pondérées
2.3 Espaces fonctionnels d’une triangulation
2.4 Opérateurs
2.4.1 Opérateurs sur les graphes
2.4.2 Opérateurs sur les triangulations
2.5 Fermabilité des opérateurs
2.6 La bornitude des Laplaciens
3 Le caractère essentiellement auto-adjoint
3.1 Métrique intrinsèque
3.2 L’hypothèse de χ-complétude
3.2.1 Triangulation χ-complète
3.2.2 Triangulation non χ-complète
3.3 Laplacien essentiellement auto-adjoint
3.4 Exemples
3.4.1 Triangulation d’une 1-décomposition de graphe
3.4.2 Arbre triangulaire
3.4.3 Le caractère essentiellement auto-adjoint sur le cas simple
4 Trou spectral des triangulations
4.1 Théorie spectrale
4.1.1 Spectre des graphes
4.1.2 Inégalité de Cheeger
4.2 Relations entre les spectres des Laplaciens
4.3 Trou spectral d’une triangulation finie
4.4 Triangulation d’un graphe complet
4.4.1 Majoration du trou spectral
4.4.2 Minoration du trou spectral
5 Annexe
5.1 Théorème de type Hopf-Rinow
5.2 Théorème de Reed-Simon
5.3 Théorème de von Neumann
Bibliographie
