Stratégie de développement des outils d’optimisation topologique métaheuristiques 

Structure d’un outil d’optimisation topologique

La structure d’un outil d’optimisation topologique peut généralement être décrite sous la forme d’une combinaison de trois modules complémentaires. Ces trois modules communiquent entre eux de la façon décrite par le schéma de la Figure 1.8. Ces trois modules sont :
– le module pour l’optimisation de la valeur des variables d’optimisation ;
– le module pour la description de la distribution de matière ;
– le module pour l’évaluation de la solution.
Le module d’optimisation, composé d’un algorithme d’optimisation, utilise différentes informations, telles que les valeurs des fonctions objectifs, les contraintes, le gradient, etc. pour modifier la valeur des variables d’optimisation avec pour objectif d’améliorer la ou les fonctions objectifs tout en essayant de respecter la ou les contraintes
Le module de description de la solution utilise un formalisme de distribution de matière pour déterminer la manière de décrire une solu-7 tion au travers d’une distribution de matière à partir d’un ensemble de variables d’optimisation.
Le module d’évaluation, utilisant un logiciel éléments-finis, fonctionne en trois étapes. Premièrement, le module récupère la description de la distribution de matière pour créer un modèle éléments-finis.
Deuxièmement, le modèle éléments-finis est résolu en fonction de la ou des « physiques » souhaitées. Et troisièmement, il évalue les différentes informations nécessaires à l’algorithme d’optimisation, telles que les valeurs des fonctions objectifs, les contraintes, etc.

Classification des outils d’optimisation topologique

Il existe de nombreuses classifications possibles des outils d’optimisation topologique. Dans ce manuscrit, deux classifications sont utilisées pour caractériser les algorithmes d’optimisation utilisés. Ces deux classifications sont : les algorithmes déterministes vs les algorithmes nondéterministes, ainsi que les algorithmes exacts vs les algorithmes heuristiques.
La différence entre les algorithmes déterministes et les algorithmes non-déterministes repose sur la méthode de variation des paramètres d’optimisation. Les algorithmes déterministes utilisent l’état de la solution, ou de l’algorithme, à l’itération précédente pour définir la valeur des paramètres de la solution à la prochaine itération. Pour une même solution initiale, l’algorithme parcourt donc le même chemin dans l’espace des solutions. A l’inverse, les algorithmes non-déterministes utilisent un facteur aléatoire pour influencer la modification de la valeur des variables de la solution. Cette méthode permet de réduire la dépendance d’une solution aux états précédents. Pour une même solution initiale, l’algorithme peut parcourir des chemins différents dans l’espace des solutions.
Les algorithmes exacts sont des algorithmes développés pour permettre de trouver l’optimum global d’une solution, c’est-à-dire la meilleure solution du problème étudié, lorsque cela est possible. Ces algorithmes sont le plus souvent spécialisés pour des cas particuliers tel que l’algorithme de Dijkstra [2] pour le problème de la recherche du chemin le plus court à travers un ensemble de chemins reliant des nœuds.
Dans certaines situations, la recherche de l’optimum global peut s’avérer être très longue. Dans ce cas, il est possible d’utiliser des algorithmes heuristiques à la place des algorithmes exacts. Pour un temps de calcul plus petit, les algorithmes heuristiques sont capable de donner de bonnes solutions mais ce gain de temps de calcul est obtenu au détriment de la qualité de la solution finale, dont l’optimalité n’est plus garantie. Pour le cas de l’optimisation du problème de chemin le plus court, la version heuristique de l’algorithme de Dijkstra est l’algorithme A* [3]. Ce dernier permet de rechercher un chemin en un temps relativement court mais ne garantit pas que la première solution trouvée soit l’optimum.

Cadre et objectifs de la thèse

Actuellement, différents outils d’optimisation topologique sont utilisés par l’industrie avec de bons résultats dans les domaines de la conception optimale en mécanique, que ce soit dans la conception de pièces mécaniques ou sur l’architecture complète d’un pont, en prenant en compte l’élasticité linéaire du matériau qui est distribuée pour réaliser la structure à optimiser. On retrouve aussi des outils spécifiques développés dans les domaines de l’électromagnétisme et de la mécanique des fluides. Cependant, ces outils d’optimisation topologique utilisent généralement des algorithmes déterministes afin de garantir une bonne vitesse de convergence, au risque de ne pas trouver l’optimum du problème posé. De plus, ces algorithmes d’optimisation sont souvent limités à l’utilisation de variables d’optimisation continues ne permettant donc pas d’avoir un outil d’optimisation topologique générique.
Dans le cadre de l’utilisation des outils d’optimisation topologique en milieu industriel, il est souhaité qu’ils soient indépendants du problème traité, c’est-à-dire qu’ils doivent :
– pouvoir traiter des problèmes multiphysiques, multiobjectifs, multicontraintes et multivariables ;
– être indépendants du type des variables utilisées pour décrire une solution. Par exemple, on peut citer l’utilisation des variables discrètes et/ou continues.
De plus, afin de garantir un design de conception abouti, les outils d’optimisation topologique doivent non seulement être capables d’optimiser la topologie mais aussi la géométrie et les dimensions associées.
Ceci implique que ces outils doivent posséder une étape d’exploration (topologie), une étape d’exploitation (géométrie et dimensions) et un mécanisme de transition entre ces deux étapes.
Suivant ces critères, le choix de l’algorithme d’optimisation s’est orienté sur l’utilisation des algorithmes métaheuristiques, c’est-à-dire des heuristiques génériques, couplés à des formalismes de distribution de matière adéquats. Le choix de ce type d’algorithme garantit une grande ouverture sur les types de problèmes à optimiser mais souvent au détriment de la vitesse deconvergence.
Afin d’augmenter la performance de l’algorithme d’optimisation, il est nécessaire d’accélérer le processus d’optimisation, tout en conservant un niveau élevé d’exploration de l’espace des solutions. Il convient donc de développer des méthodologies et des outils basés sur les algorithmes métaheuristiques compatibles avec une optimisation topologique et d’analyser les performances de ces méthodes quant à leur capacité de déterminer des géométries et des dimensions optimales avec un minimum d’a priori. Pour cela, il faut :
– définir les critères de performance ;
– définir des cas tests aussi proches que possible des cas applicatifs réels ;
– choisir et mettre en œuvre des algorithmes d’optimisation adéquats ;
– choisir et mettre en œuvre des formalismes de distribution de matière adéquats ;
– proposer et tester de nouveaux mécanismes d’optimisation permettant d’augmenter les performances des algorithmes d’optimisation topologiques ;
– appliquer les outils développés à quelques cas réalistes.
Finalement, l’évaluation des capacités des outils d’optimisation topologique se fait au travers de deux objectifs :
– avoir un processus d’optimisation qui converge vers l’optimum global le plus rapidement possible. Cette amélioration de la vitesse doit pouvoir inclure un équilibre efficace entre une recherche par exploration pour dégager la topologie optimale et une recherche par exploitation pour dégager la géométrie et les dimensions optimales ;
– obtenir des solutions directement utilisables. Ceci inclut le respect de contraintes mécaniques, mais surtout une description aboutie des frontières des sous-domaines de matière composant la solution.

Organisation du manuscrit

Le Chapitre 2 est un état de l’art des outils d’optimisation topologique basés sur des algorithmes métaheuristiques. Cette mise en contexte discute des différents algorithmes utilisés, ainsi que des formalismes de distribution de matières utilisés à ce jour dans le cadre de l’optimisation topologique, ainsi que les différentes adaptations apportées aux outils développés.
Le Chapitre 3 discute les choix stratégiques à effectuer pour mener à bien notre recherche. Ces choix sont influencés par différents aspects pratiques. Le chapitre donne aussi une description des différents cas d’étude utilisés ainsi que les outils d’évaluation nécessaires.
Le Chapitre 4 est l’étape de sélection d’un outil prometteur qui pourra être adapté à l’optimisation topologique. Il est subdivisé en trois sections. Premièrement, il établit une présélection des outils d’optimisation topologique afin de limiter le nombre d’outils à étudier. Deuxièmement, il décrit l’implémentation des différents éléments constitutifs des outils d’optimisation topologique choisis, c’est-à-dire les différents algorithmes et formalismes. Troisièmement, il étudie et compare les outils d’optimisation topologique choisis sur la base d’un cas simple graphique, afin d’estimer leur efficacité. Le choix se porte finalement sur l’utilisation d’un algorithme génétique couplé à un formalisme de distribution de matière basé sur le diagramme de Voronoï. Le Chapitre 5 est la première partie de l’étape d’adaptation des outils d’optimisation topologique. Il se focalise sur l’approche de gestion de la population de l’algorithme génétique. Le chapitre étudie différentes méthodes pour faire varier la taille de la population en fonction des besoins de l’algorithme génétique et étudie aussi l’influence de la population initiale sur le bon déroulement du processus d’optimisation.
Le Chapitre 6 est la seconde partie de l’étape d’adaptation des outils d’optimisation topologique. Il se focalise sur les méthodes de reproduction de l’algorithme génétique. Le chapitre décrit et compare différentes méthodes de croisement et de mutation.
Le Chapitre 7 est l’étape des tests de l’outil développé. Plusieurs cas d’applications complexes se rapprochant de la réalité industrielle sont utilisés afin de comparer le nouvel outil avec des outils d’optimisation topologique issus de la littérature.

Évolution du nombre de variables de design

La finesse de la discrétisation est un élément non négligeable pour l’évolution du processus d’optimisation. Un plus grand nom bre de variables contraint l’algorithme à travailler sur un plus grand espace de recherche. Afin de faciliter l’exploration, tout en obtenant un nombre suffisant de variables de design pour représenter la meilleure solution, C.D. Chapman [45] utilisa en 1994 un raffinement programmé de la discrétisation de l’espace avec le formalisme Bit-Array au cours de l’optimisation. Ce raffinement est forcé à partir d’un certain nombre d’évaluations, par exemple en passant de 10 × 16 à 20 × 32 cellules au bout de 250 générations et de 20 × 32 à 40 × 34 cellules après quelques 50 nouvelles générations, l’outil terminant sur ce raffinement pour encore 10 nouvelles générations. A chaque nouvelle discrétisation, la taille du vecteur de variables d’optimisation augmente. Pour éviter tout problème lié à cette augmentation, il proposa en même temps de subdiviser l’espace de design en quatre, puis en seize. A ces nouveaux espaces de design, l’algorithme crée de nouvelles populations liées à chacun d’entre-eux.

Phase des tests (Chapitre 7)

La dernière phase, la phase des tests, compose l’outil final à partir des différentes adaptations proposées dans la section précédente. Elle évalue ensuite cet outil sur la base des critères d’évaluation :
– La vitesse de convergence,
– La qualité de la solution finale,
Les résultats obtenus sont finalement comparés avec ceux obtenus avec des outils de référence présentés dans la littérature.

Les cas d’étude

Les cas d’étude utilisés aux différentes phases de la construction de notre outil d’optimisation topologique sont présentés dans cette section ainsi que pour chacun d’eux l’implémentation du module d’évaluation.

Phase 1 : Problème simple graphique

Le problème simple graphique est le cas d’étude utilisé lors de la phase de sélection. De par sa simplicité et de sa facilité d’évaluation, il permet des comparaisons de résultats avec un grand nombre d’évaluations. Le problème étudié entre dans la catégorie des problèmes inverses puisque l’optimum global, supposé unique, est imposé et doit être retrouvé au moyen de l’évaluation de la différence entre l’optimum et les solutions. Dans le cas du problème inverse étudié, la fonction objectif calcule un résultat reflétant les différences graphiques entre la cible et les solutions proposées par l’algorithme d’optimisation.

Description du cas d’étude

La topologie de la solution à retrouver est définie de manière à ce qu’elle possède des caractéristiques graphiques particulières afin de tester la capacité de l’outil à l’optimisation topologique, de forme et dimensionnelle. La topologie choisie, illustrée par la Figure 3.1, représente une géométrie à deux matériaux (A, B) dont l’un (B) domine l’espace de design et le second (A) enrichit cet espace de design de deux sousdomaines.
Le sous-domaine de gauche représente une entaille avec une forme complexe et le sous-domaine de droite représente un trou ovale.

Phase 3 : Problèmes complexes

Plusieurs problèmes complexes sont utilisés afin d’élargir le champ d’application des tests dans le domaine de l’électromagnétisme. Pour chaque cas d’étude, l’outil adapté obtenu est comparé à un outil d’optimisation topologique de référence défini en section 7.2 et le module d’évaluation utilisé est identique à celui décrit en section 3.2.2.2. La section 3.2.3.1 présente un problème de conception d’un actionneur linéaire à réluctance variable. La section 3.2.3.2 présente un problème de conception d’une machine synchrone à aimants permanents et enroulements concentrés.

Actionneur linéaire à réluctance variable

L’actionneur linéaire à réluctance variable étudié est composé d’une partie fixe, le stator, et d’une partie mobile, le mouveur, séparées de par un entrefer. Le déplacement du mouveur est provoqué par des forces réluctantes créées par des variations des champs magnétiques induits par les courants électriques dans les enroulements du stator.
Pour simplifier le problème, on suppose que le moteur présente une symétrie axiale et transversale (Figure 3.7). L’espace de design est limité à la description d’une moitié d’une encoche du stator et d’une moitié du mouver.

Machine synchrone à aimants permanents

Le moteur synchrone à aimants permanents étudié est représenté à la Figure 3.11. Ce problème a été proposé par Ishikawa [53]. Au stator on trouve trois phases, chacune formée de deux bobines diamétralement opposées entourant chacune une dent du stator. Le rotor comporte quatre paires de pôles. Le mouvement de la machine est dû aux couples électrodynamiques et réluctants créés par les variations du courant dans les phases du stator. Le schéma de la Figure 3.11 présente l’orientation du champs rémanent des aimants utilisés et l’ordre de succession de phase.

Critères de comparaison

La possibilité de combiner différents algorithmes d’optimisation avec différents formalismes de distribution de matière, conduit à de nombreuses variantes d’outils d’optimisation topologique. Leur comparaison nécessite d’établir des critères qui permettront de les évaluer. Les outils d’optimisation topologique étudiés étant de nature stochastique, la tendance générale est de comparer la courbe de convergence obtenue soit après un nombre fixe d’évaluations, soit lorsqu’intervient une condition d’arrêt en fonction de l’évolution de la meilleure solution.
Cette section a pour objectif de présenter les différents critères sélectionnés pour caractériser une solution, soit qualitativement, soit quantitativement. La section 3.3.1 décrit le critère de comparaison classique, l’évolution de la convergence, à partir de laquelle on extrait de nombreuses informations. Ensuite la section 3.3.2 discute de la sensibilité des outils à leurs paramètres de configuration.

Table des matières
Remerciements 
Abstract 
Résumé 
Liste des principaux symboles 
1 Introduction 
1.1 Formulation d’un problème d’optimisation
1.2 Méthodes de conception optimale
1.2.1 Optimisation dimensionnelle
1.2.2 Optimisation géométrique
1.2.3 Optimisation topologique
1.3 Structure d’un outil d’optimisation topologique
1.4 Classification des outils d’optimisation topologique
1.5 Cadre et objectifs de la thèse
1.6 Organisation du manuscrit
2 Etat de l’art 
2.1 Algorithmes d’optimisation
2.2 Formalismes de distribution de matière
2.3 Adaptations spécifiques
2.3.1 Évolution du nombre de variables de design
2.3.2 Diminution de l’espace des solutions par utilisation des contraintes
2.3.3 Suppression des éléments non connectés
2.4 Synthèse
3 Stratégie de développement des outils d’optimisation topologique métaheuristiques 
3.1 Méthodologie
3.1.1 Phase de sélection (Chapitre 4)
3.1.2 Phase d’adaptation (Chapitre 5 et Chapitre 6)
3.1.3 Phase des tests (Chapitre 7)
3.2 Les cas d’étude
3.2.1 Phase 1 : Problème simple graphique
3.2.2 Phase 2 : Problème simple de type physique
3.2.3 Phase 3 : Problèmes complexes
3.3 Critères de comparaison
3.3.1 Courbe de convergence
3.3.2 Courbe de sensibilité sur un paramètre
3.4 Synthèse
4 Sélection de l’outil de référence 
4.1 Algorithmes d’optimisation
4.1.1 Sélection
4.1.2 Implémentation
4.2 Formalismes de distribution de matière
4.2.1 Sélection .
4.2.2 Implémentation
4.3 Comparaison des combinaisons
4.3.1 Sensibilité
4.3.2 Convergence
4.4 Synthèse
5 Adaptation de la gestion de la population 
5.1 Evolution de la taille de la population
5.1.1 Décroissance préprogrammée à priori : Ns = Ns (k)
5.1.2 Régulation par le rendement de chaque génération : Ns = Ns (Nb )
5.1.3 Régulation par attribution d’un coefficient de reproduction : Nse = Nse ( ~cr )
5.2 Initialisation de la population
5.2.1 Prédéfinir la population initiale par anticipation
5.2.2 Recouvrement équilibré de l’espace de design par les matériaux
5.2.3 Influence des dimensions de l’espace de design
5.3 Synthèse
6 Adaptation de la reproduction 
6.1 Croisements
6.1.1 Description des opérateurs de croisements
6.1.2 Comparaisons
6.1.3 Cohérence du croisement
6.2 Mutations
6.2.1 Déplacements des centres de Voronoï
6.2.2 Modification du nombre de cellules
6.3 Synthèse
7 Constitution de l’outil final et application aux cas tests 
7.1 Constitution de l’outil final
7.1.1 Population
7.1.2 Reproduction
7.2 Description des outils de référence
7.2.1 Description de l’outil de Schoenauer
7.2.2 Description de l’outil de Ishikawa
7.3 Cas d’étude 1 : le moteur linéaire à réluctance variable
7.3.1 Résultats
7.3.2 Discussions
7.4 Cas d’étude 2 : moteur synchrone
7.4.1 Résultats
7.4.2 Discussions
7.5 Synthèse
8 Perspectives 
8.1 Population
8.1.1 Description du parallélisme de la reproduction
8.1.2 Variation de la taille des populations des enfants
8.2 Croisement
8.2.1 Croisement graphique non équilibré
8.2.2 Croisement par superposition
8.3 Mutations des matériaux .
8.3.1 Choix du taux de mutation en fonction du voisinage
8.3.2 Choix du taux de mutation en fonction de l’historique de la population
8.3.3 Choix du taux de mutation en fonction de l’évolution de la surface de la cellule
8.4 Hybridation
8.5 Synthèse
9 Conclusions 
9.1 Etape I : Sélection d’un outil d’optimisation topologique
9.2 Etape II : Adaptation de l’algorithme génétique à l’aspect graphique de l’optimisation topologique
9.2.1 Gestion de la population
9.2.2 Gestion de la reproduction
9.3 Etape III : Composition et test de l’outil final
9.4 Perspectives et contributions supplémentaires
Publications associées à la thèse
A Choix d’implémentation des algorithmes
A.1 Cas d’étude
A.2 Algorithme génétique
A.2.1 Sélection des parents et des descendants
A.2.2 Croisement
A.2.3 Mutation
A.3 Algorithme du recuit simulé
A.3.1 Description
A.3.2 Résultats
Références

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